别和十维空间的人打赌
Posted on October 16, 2011

“Scientists say: The world has 11 dimensions…”

维度的概念有时奇妙而难于捉摸,高维空间就像不可逾越的壁垒,想象力在那里完全处于下风。这就好比屏幕的实际分辨率不可能超越建造屏幕材料的最小尺寸一样,我们的思维也很难逾越承载思维的大脑本身所处的三维空间。

不过,我们还有数学,以及,对于我来说,一股子蛮劲。

想象四个单位边长的正方形,在平面内拼成一个边长为2的大正方形。其中每个小正方形都有一个内切圆。这时我们在四个圆的中心可以填入另一个小一些的圆,这个圆和所有四个圆均外切。我们可以轻易的算出中心小圆的半径为:

(2^1/2 - 1)/2

如果我们继续下去,学过物质结构的同学也许能够熟练的算出三维中类似的情况。八个单位立方体堆成一个大立方体,8个小立方体内的内切球围成的空腔内最大能够容纳的球半径为(31/2 - 1)/2。

好的,当我告诉你我要在四维空间中再次重复这个过程的时候,即使你完全不懂得数学,你大概也能猜出,下一个数字将是(41/2 - 1)/2。

但如果你真的对数字一无所知,也许我应该告诉你,这个式子的值等于1/2。别忘了,不论在几维空间,我们用于围住中心球的周围的球的半径总是1/2。然而在四维空间中,中心的“超球体”居然和它周围的16个球体一样大,是不是很有意思呢。

当然更有趣的还在后面。

(n1/2 - 1)/2这个数字将会随着n的增大而一直增大,并且我要告诉你,它是不收敛的,也就是说你想让它多大它就能有多大,只要我可以随便选择n是多少。那么好,比如说我们现在是在一个9维空间里(别费劲了,你想象不出那是个什么样子),用我们的式子稍加计算,你便会惊异的发现,中心“球体”(如果我还能把它叫做球体的话)的半径居然达到了1!这意味着什么呢?中心的球居然内切了整个由512个单位立方堆成的大九维立方!并且它还同时和每个单位立方的内切球外切!那么下面… 对,你猜的没错,在十维空间中,由于球半径大于1,中心球甚至将撑爆立方的边界!!

这个玩意儿很有意思,我是在Matrix67的Blog里看到这篇文章的。不过你知道么,我不打算就这么输给十维空间!我曾告诉我的死党,如果哪个该死的高维生物打算用它那不论什么“高深”的伎俩让我屈服(或是和我打赌),那么我会反抗!再说了,科学家们不是说嘛,我们的世界很有可能是十一维的,你小样才十维而已呀!

好的,下面是我斗争的过程:首先,我确信没有任何“奇异”的事情发生,也就是说以上所有的一切都是合理的。而我的目的是找到一种方法来解释它,并将它还原。接着,我发现有以下三件事需要搞明白:

我们知道,不论维度是多少,任意两个维度总是互相垂直的,也就是说勾股定理总是成立。根据这一条,我们可以自信的说,式子r = (n1/2 - 1)/2总是成立的。于是第一个问题有着肯定的答案。

第二个问题要复杂些。我们需要用到超球体的体积公式。我不打算在这里推导这个公式。你大概可以简单的用微积分的知识推导出来,或者参考这里。总之,十维球体的体积为:

V = (π5/5!) * (r10)

按照我们刚开始的计算,十维情况下中心球的半径应该为(101/2 - 1)/2 ≈ 1.0811。

呀,只比1大一点点,我怀疑这个球能否真的比我们的十维超立方体还大。假如我是在二维平面考虑这个问题,我会觉得应该还是立方体大些,是吧?

可是别忘了,我们是在十维空间,那里的一切可都不能按常理定夺,包括“股票是否应该在高价卖出,低价买进”。经过简单的计算,我惊异地发现:

Vsphere = (π5/5!) * (r10) ≈ 5.549

Vsquare = 210 = 1024

真是没想到,居然差了这么多,别说大多少了,连百分之一也不到。所以,相信我,即使是在十维空间,你还是应该在价格比较低的时候买进股票。至此第二个问题也解决了,中心球的“容积”不仅没有大过立方体,而且仅仅为立方体的百分之一不到。

可这到底是怎么回事呢?为什么中心球可以在和所有周围的球相切的同时,而且体积又比立方小了那么多时,却依然能够突破立方的边界呢?

其实道理很简单。让我们来计算一下,在十维情况下,立方体在填入了所有周围的球之后,中心有多大的空。注意到,十维情况下,中心球的周围一共有1024个小球。

Vvacancy = 1024 - 1024(π5/5!)(0.510) = 1024 - 2.55

哈哈,真是搞笑,这个立方体在填了1024个直径为自己边长一半的球体之后,居然基本还是空的!怪不得中心那个球可以那么大了!由于中心的空处太大,球在保证与各小球相切的情况下,从那些球组成的空隙里钻出去了!这就是十维空间的奇妙之处,那里的一切有“体积”的东西都被超高的维度“撑”起来了,以至于我们无从理解(至少在感官上)。同时,由于球体和立方体比起来少了1024个“角”的体积,却只多了20个凸出的“面”的体积,所以远远不及立方体大了。

好吧,其实我不应该花这么长时间钻研这个,以此来维持和十维人打赌的不败战绩。这不,那家伙虽然先输了一招,可这明显是因为它不小心低估了我。额… 我得先走了,是的,我必须马上走,我已经看到那个该死的十维家伙的眼珠子的四维投影的一个三维面切入了我的视野空间,那是一个奇异的17面体。哦,这是什么,不。我不要看… 哦,不,别给我,请你别给我这个,见鬼!我不要做九维的“平面”几何题… 天哪!!!…

“Fuck scientists!!!”